一题可破万题山，多解归一（中篇）

一题可破万题山，多解归一（中篇）教学课堂 2019-11-26 11:24:00

试题呈现

如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF

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我们可以从以下七个角度去思考解法。

思考角度一

截长补短

如上图，在AB上截取点H使BH=BE，并连接HE。

后面我们可以证△BHE为等腰直角三角形，然后导角证△AHE全等于△EFC，这样就可以得到AE=EF

点评：此题容易想到过点F向BC作垂线，证两个直角三角形全等，但是会发现不好证全等。此时，改变思路，证两个小钝角三角形全等，此路顺畅好解。

思考角度二

构造三垂直模型

仔细想想，证两个直角三角形全等真的不可以吗？

直接证明主要是得不到边相等，但是它们应该是存在边等的，例如FH=BE或者AB=EH，这样是不是可以？如果要证明，此时需要借用方程的方法解决。

如图，我们设BE=a, FH=b,利用直角△ABE,△EFH,△AIF,可表示△AEF三边长度的平方，然后再利用△AEF也为直角三角形就可以建立如下方程：

解此方程可得a=b，这样后面就能证明全等了。有误：（b-a）^2改成（2a-b）^2

思考角度三

旋转

此题还可以考虑将图形进行旋转，通过旋转构造新的图形，然后由新图形来证得线段相等。

旋转法一：将△ABE绕点B顺时针旋转90度：

如图，可以得到等腰直角三角形BME，然后证四边形MEFC为平行四边形即可。

旋转法二：将△EFC绕点E逆时针旋转：

其实，除了以上旋转方法，还有以下旋转方法，读者可自行尝试证明。

旋转法三：将△EFC绕点C逆时针旋转：

旋转法四：将△EFC绕点E顺时针旋转：(图形难看，所以省掉)

旋转法五：将△EFC绕点C顺时针旋转：

旋转法六：将△ABE绕点B逆时针旋转：

旋转法七：将△ABE绕点A逆时针旋转：

旋转法八：将△ABE绕点A顺时针旋转

思考角度四

折叠

如上图，将△ABE折叠下来可以，可以由等腰直角三角形A’BC推得△A’EF为等腰三角形。

如上图，将△ECF折叠下来，可以推得△AEF’为等腰三角形。

思考角度五

坐标系

对于初二下册学生而言，已经开始接触一次函数了，这里也是可以使用一次函数来证明。

以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系。

如图，可以设BE长为a个单位长度，F点纵坐标为b,后面就可以利用AE⊥EF,得到a=b,最后利用勾股定理可以求解AE和EF的长度。（特注：两直线垂直，比例系数乘积为-1）

点评：此方法，虽然较为麻烦，但是不失为解决此类问题的一种通性通法。

此题若站在更高视角，例如九年级角度来看，还能得到以下解法：

思考角度六

共圆

由∠AEF=∠ACF=90°可以得到四点A、E、C、F共圆（圆周角定理），然后可推∠ACB=∠AFE=45°，这样就得到了等腰直角三角形AEF

思考角度七

相似

此题若知道相似，在思考角度二中可以不列方程得到全等。

多解归一：要证明边等的方法可以构造全等、平行四边形、等腰直角三角形或者列方程求解，构造的方法有截取法、运动变换法、共圆法等。总而言之，灵活构造是解决此类问题之本。

此题不仅可以存在一题多解，还有一题多变，并且变化更加精彩。

变式角度一

特殊点变一般点

1-1 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF.

变式角度二

动点运动到延长线上

2-1 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的延长线上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF.

2-2 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边CB的延长线上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF.

变式角度三

条件和结论互换

3-1 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AE=EF，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：∠AEF=90°.

3-2 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，AE=EF，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：∠AEF=90°.

3-3 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF=90°，AE=EF，求证：CF是正方形外角的平分线.

变式角度四

半角模型

4-1 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF=90°，AF与边CD交于点H，求证：BE+DH=HE

变式角度五

正方形背景变矩形背景

5-1如图，四边形ABCD是矩形，其中2AB=BC，点E是边BC的一点，∠AEF=90°，∠ACF=90°，求证：EF=2AE

变式角度六

正方形背景变正三角形背景

6-1 如图，三角形ABC是等边三角形，点E是边BC一点，∠CEF=60°，且EF交等边三角形ABC外角的平分线BF于点F，求证：CE=BF.

变式角度七

在等边三角形基础上再变化

7-1 如图，等边三角形ABC中，点D为AC中点，AD=CE，求证：BD=DE

7-2 如图，等边三角形ABC中，点D为AC上一点，AD=CE，求证：BD=DE

变式角度八

等边三角形变为等腰直角三角形

源自河南-杨峰老师

8-1 如图，在等腰直角三角形ABC中，已知∠BAC=90°，点D为边AC上一点，

求证：BD=DE

此题若再进行延长变化、因果变化、三角形变化，恐还会出来更多好题，欢迎补充！

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太高深了，理解力不够用了！

禽兽不如应该不是说楼主的的吧？

楼主英明！