历经千年，数学家们都是如何绘制“正弦表”的

历经千年，数学家们都是如何绘制“正弦表”的？ 原创 数学原来如此 2019-03-07 07:16:09

1687年，在哈雷（Halley）的鼓动和支持下，不敢轻易发表作品的牛顿（Newton）出版了他耗时3年写成的数学巨著《自然哲学的数学原理》，此书无论之于数学还是物理，都具有划时代的意义。

牛顿《自然哲学的数学原理》首版图书封面

大家熟知的“力学三大定律”、“万有引力定律”，以及“微积分”的发明，都集中体现在Newton的《自然哲学的数学原理》一书中。


但是此书还有一个对微积分影响深远的发现，大家却未必知晓。在《原理》第三篇的引理五“求通过任意个点的抛物线类曲线”中，Newton以几何的形式给出、并简单证明了这个发现——“牛顿插值公式”（Newton interpolation formula）。

《自然哲学的数学原理》中的“牛顿插值公式”

当然，在欧洲“牛顿插值公式”的发现不只属于Newton，同时期的格雷戈里（gregory）、莱布尼茨（ Leibniz）也享有独立的发明权。为了便于大家快速理解这个公式的用途和来由，我们使用现代符号来表示：


我们称之为“插值公式”是因为根据已知的n个点得到的这个公式，可以用来近似的估计原函数在其他点的函数值。就好比在这n个点之间插入了一个比较贴近原函数的值，这个功能与“拟合”类似，但不同的是，“插值公式”中已知的n个点一定满足公式。
“插值公式”的证明不困难，只需设



并将n+1个点的值逐一带入f(x)求出系数即可。


Newton在这里首次引入了“差商”的概念，差商指的是两个点之间纵坐标之差比上横坐标之差，即△y/△x。
数学中不可避免的会遇到这些新概念，但我们只要多看看，熟悉了也就顺眼了。现在，对“插值公式”稍作变化。令“插值公式”中的c=△x,并让△x→0得，


这就是大名鼎鼎的泰勒级数（Taylor series）。

泰勒画像

泰勒级数是牛顿插值公式的一个重要推广和运用，由于可以轻松将无理函数转化为级数展开形式，泰勒级数在分析学形成早期的函数求导、求积中扮演了最重要的角色。
从“分析”的角度计算正弦值根据泰勒级数可以得到正弦函数y=sinx的级数展开式：


如下图，即使是取


，也可以较好的估计y=sinx在（-90°，90°）之间的值。以18°的正弦值为例，g(π/10)≈0.30902与sin(π/10)的值0.30901699...在小数点后5位才出现悬殊。

用y=g(x)来估计正弦函数

当然如果我们取的级数展开式的项数越多，得到的正弦值也就越精确。而结合当代计算机的强大功能，我们可以快速计算任意角度的足够精确的正弦值。泰勒级数的功能之强大、过程之简洁实在让人震撼！

但需要说明一点，关于“正弦函数”的展开式，虽然我们常用以上“微分”的方法来求解。但是在牛顿时代，却是通过更复杂的形式——“积分”的方法来得到的。具体参见附录【1】。再往前几个世纪，印度数学家Mādhava最早给出了正弦、余弦、正切的级数展开式，只是当时的欧洲数学家并不知晓。



总结一下，从“分析”的角度解决“正弦值”问题，不但可以直接计算正弦函数在任意角度处的近似值，而且操作简单、精确度有保证，在计算机普及的今天，“正弦表”更是可有可无。但是，早期的天文学家就没有这么幸运，他们的每一次计算都离不开“弦表”，因为这是他们处理数据的基础。既然如此，那早期数学家是如何计算“正弦值”并绘制“正弦表”的呢？


“二次插值”公式法还得继续提到数学大家Newton，他和gregory等数学家在欧洲首先发现了插值公式，但实际上插值公式的最初发现并非在欧洲，而是7世纪初的中国。公元600年，隋朝天文学家刘焯（zhuo）创《皇极历》，并用“二次插值公式”来计算日、月、五星的运行速度.

刘焯画像

随后，也是在7世纪，印度著名数学家婆罗摩笈多(Brahmagupta) 为了讨论“*正弦”（这里加*是为了与现在的“正弦”作区分，“*正弦”指的是弧所对正弦线或半弦值），在《肯达克迪迦》(Khandakh1dyaka，音译）一书中也使用了“二次插值公式”。

婆罗摩笈多(Brahmagupta)

Brahmagupta首先列出了0°到90°每隔15°的“#正弦值”，然后使用“二次插值公式”：


如果需要计算37°的正弦值，利用等式 37°=30°+（7/15）15°，令a=30°，x=7/15，c=15°.则f(a)=*sin30°.....带入公式即可。


几何法+三角公式+不等式最后回到我们的老熟人——古希腊著名数学家托勒密Ptolemy这里。在上一篇文章中，我们说到，Ptolemy的“弦表”是现存最早的“正弦表”，其值指的是2α°弧所对弦长|BC|的值.

Ptolemy的“弦表”中的弦长|BC|

计算中Ptolemy取圆周为360等分，半径为120等分。为免混淆，下面用# sinα°来表示Ptolemy的“弦值”，以区别于现在的sinα°。
具体步骤如下：

“弦表”绘制步骤

古希腊的数学著作大多以几何形式呈现，数学概念是几何的、数学推导也是几何的。Ptolemy的著作也不例外，上面的推导过程记录在《至大论》(Almagest)一书中，篇幅有限，不能一一说明它们的具体推导过程，但如果你需要继续思考下去，下面的3个问题会是一个好的出发点：

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问题1：如何计算sin72°的值？
问题2：如何用“托勒密定理”推导“正弦的和、差角公式”？
问题3：如何用“托勒密定理”推导“半角公式”?

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以上问题答案，可参考附录【2】


Ptolemy绘制的“弦表”建立在几何——尤其是托勒密定理的基础上，并且已经有了等价于现代“正弦的和、差公式”、“半角公式”等三角公式，更难能可贵的是大胆的使用了“不等式”来逼近函数值。后世的印度、阿拉伯数学家对他的方法、成就做了继承和发展，逐步演变成现在比较成熟的“三角学”。

“正弦的和公式”

阿拉伯数学家瓦法（Wafa）是第一个计算现代意义下的“正弦值”的人，他使用“不等式逼近法”编制了高度精密的“正弦表”。在计算30′正弦值得时候，使用了不等式：


最后计算得到sin30′≈0.008726536673.这个近似值精确到了小数点后9位。这在以前的“弦表”里是见不到的，没错，Wafa创了记录。

阿布·瓦法（Abū al-Wafāʾ，公元940-998年）

到这里，我们对“弦表”的制作史介绍就告一段落了，三角学这门学科从隶属于天文学，历经千年后独立发展并逐步壮大，离不开一代代的数学巨匠们的奋斗，让我们一起向这些伟大的开拓者和继承者们致敬！


附录：
【1】.微积分的历程.William Dunham.人民邮电出版社.2012
【2】.世界数学通史（上）.梁宗巨.辽宁教育出版社.2005. P438-440

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好多兽医在广场上义诊，楼主去看看吧！