作者：黄逸文
本文转载自中国科普博览大家族科学大院（ID：kexuedayuan）
长久以来，数学都是精密、严格、准确的象征。
人类非理性的行为主导了社会、政治、经济、文化等领域的蓬勃发展，而在理性统治的时代，现代科学也在不断用实验和数据支撑或者反驳前人的论断，从而引领人们走向一条自我进化之路。路的远方只能无限接近真理，却永远无法抵达那里。于是，在世间万物变化无穷的表象之下，数学成了人们最后确定性的倚靠。
如果数学的根基被动摇，人类认识世界的逻辑基础就可能被颠覆。当一加一不再等于二，人类文明构建的宏伟大厦即可能在顷刻之间坍塌，所有固若金汤、坚不可摧的真理信条也会在瞬间失去存在的理由。世间一切文明亦会在一夜之间灰飞烟灭。宇宙最终只能沉寂于混沌的深渊。从某种角度来说，数学不能出现矛盾，也不能出现危机。数学，就是人类文明最后的避风港。
不幸的是，在两千多年的历史进程里，坚如磐石的数学大厦仍然出现了裂痕。人们在无意之间凿开的罅隙却很快激发连锁反应，最终引起科学界的大地震。无数历史上最杰出的科学大家加入了修补大厦的工作，为挽救数学的完美与精确而殚精竭虑。等到危机过去，人们才发现，数学并不是无瑕的美玉，也并非无所不能的利器。数学理论即便可以帮助人们迈入天翻地覆的文明，但是在认识宇宙终极真理的道路上，它一样无能为力。甚至连数学本身，也并非无懈可击。人们总能在构建数学王国的砖石中，找到那些无可避免的残缺。
曾几何时，在人类匍匐在真理的道路探寻未来时，数学带来过光明。在科学尚在蒙昧的襁褓阶段时，数学也曾哺乳过文明。历史上，数学就是人类文明最忠实可靠的朋友。然而这位朋友，却经历过人们三次血与火的洗礼。幸运的是，每一次，它都将自己一部分最深邃的秘密展现给信仰追随它的人们。每一次的危机都带来人们观念上的革命，每一次革命都让后人更加了解数学——人类文明的守护者，更真实的内心。
让我们重回历史上那三次危机的现场。危机的导火索，却是那样的漫不经心。一切仿佛都在印证，真理给予人类的恩赐，同样都是有心栽花花不开，无意插柳柳成荫。
（一）无理数的觉醒-毕达哥拉斯的怒火
数与形，是人类最早认识世界的基础。因此，作为数的代表-整数与事物形状的代表-几何，就这样进入人们理性思辨的世界。
第一次数学危机，就诞生在人们对整数和几何的认识之中。“根号2是否是有理数”这样一个问题，引起了古希腊先贤们的争论，并逐渐演变成一场巨大的风波，最终竟然引导古希腊的数学走向了一条截然不同的发展道路。
事件的起因，却要从勾股定理说起。
公元前5世纪，古希腊的天才人物毕达哥拉斯（Pythagoras）创建了宗教、政治、学术合一的毕达哥拉斯学派。其主要的研究涵盖几何、算术、天文和音乐，并在其中追求宇宙和谐统一的规律。
毕达哥拉斯学派（图片来源：http://www.youhuaaa.com/）
彼时，毕达哥拉斯学派对整数有着异乎寻常的信仰。他们发现，大自然很多事物都可以通过数量的大小和关系进行解释和说明。这种对整数的痴迷就来源于音乐的启迪。
一次偶然的经历，毕达哥拉斯意识到音乐中音调的和谐完全由整数之比决定。音乐和数这看起来毫无关联的事物居然通过整数连接在了一起，这让毕达哥拉斯受到很大启发，并由此断言宇宙万物都可归结于整数或者整数之比（注：毕达哥拉斯时代的整数指代自然数）。这成了后来毕达哥拉斯学派的信条之一：一切事物都按照数来安排。具体而言，万物都是整数或者整数之比的和谐产物。进一步，宇宙的本质就在于整数的和谐。
与此同时，数学历史上最伟大的定理之一——勾股定理——也诞生在毕达哥拉斯学派对几何学孜孜不倦的追求之中。所谓“勾股定理”，就是一个直角三角形三边长必须满足的数量关系，即斜边长的平方等于长与宽各自的平方之和。这与古代中国独立发现的“勾三股四弦五”的特例有异曲同工之妙。意外的是，这一成就毕达哥拉斯千古英名的定理却也成了该学派信仰的“掘墓人”。
勾股定理示意图（图片来源：搜狐网）
由于相信万物都是整数或者整数之比，那么两条几何线段长度之间的比值，其结果也必然是整数之比。这也意味着存在第三条线段，能同时量尽事先给定的两条线段。这种性质被毕达哥拉斯学派称为“可通约”。基于对整数的信条，他们认为任何两条线段都是可通约的。直到“不可通约量”的发现，终于引起了该学派巨大的信仰危机。这一“离经叛道”的结果，却是由毕达哥拉斯的学生希帕索斯（Hippasus）做出的。
希帕索斯考虑一个边长为1的等腰直角三角形，根据勾股定理，其斜边长应该是“2的平方根”。如果毕达哥拉斯学派的断言是正确的，那么直边和斜边应该是可通约的，因此存在一个有理数（即整数之比），恰好等于“根号2”。希帕索斯很快就证明，这是一个矛盾的结论。他兴高采烈地将自己的非凡发现告诉老师毕达哥拉斯。在经过仔细的检查之后，毕达哥拉斯进入了“两难”的境地。要么承认希帕索斯颠覆性的结论，从而推翻他的数学与哲学的信条；要么违背理性的原则，坚决反对这一发现。左右为难之下，毕达哥拉斯将其视为学派的秘密，下令禁止传播这一结论。事情的发展还是超乎毕达哥拉斯的预料，希帕索斯最终将发现泄露出去，从而激怒了毕达哥拉斯。毕达哥拉斯随后下令处死他的学生。希帕索斯最终为此付出生命的代价，将一腔热血献祭给了第一次数学危机。
这一认识上的危机给古希腊的数学带来巨大的地震。为了维护学派的信仰，毕达哥拉斯认定类似于“根号2”这样的数是不可说、也无定形的数，其秘密属于众神的范畴，凡人不应该接触和认识到这些数的存在。这些数被称为“没有理性的数”，它们的存在即宣告了无理数的诞生。
第一次数学危机持续了2000多年。公元前3世纪，毕达哥拉斯学派的欧多克斯(Eudoxus)试图通过在几何学中引进不可通约量的概念来解决它的矛盾。他认为，几何线段先天就存在着“可通约”和“不可通约”的限制，这在某种程度上大大拓展了人们对数的认识，也为无理数找到了存在的基础。直到1872年，德国数学家戴德金(Dedekind）从连续性的要求出发，通过有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的分析基础上，才揭开了无理数的神秘面纱，从而结束了无理数被认为“无 理”的时代，也结束了自古希腊时代就延续至今的数学史上的第一次大危机。
第一次数学危机诞生于几何学。万物皆依赖于整数的思想被瓦解，几何学的地位开始擢升。古希腊人开始明白知觉和经验的局限性，一切真理只有通过推理和证明才能确保可靠。此后，演绎和推理的方式逐渐登上古希腊科学的舞台，在此基础上建立的几何公理体系让希腊民族走向了以欧几里得（Euclid）和亚里士多德（Aristotle）为代表的逻辑论证之路。古希腊也因此成为现代科学国家的先驱者。
相比之下，四大文明古国的中国、印度、埃及和巴比伦却一直停留在实验科学的阶段，以经验作为检验真理的唯一标准，而忽视了推理和证明的重要性，从而与现代科学的诞生擦肩而过。
（二）无穷小量的谜踪：追随牛顿的幽灵微积分，无疑是人类历史上最伟大的思维成果之一。
牛顿与莱布尼茨（图片来源：维基百科）
它由牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）于17世纪创立。然而，伴随着它的诞生，一个全新的概念——无穷小量即如影随形。它在微积分的规则里，时而显露参与运算，时而隐形全身而去。没有人知道它确切的行踪，但在一行行严密的数学证明中，它的身影却如幽灵般始终挥之不去。无穷小量，成了牛顿终身的梦魇，也成为后人诟病微积分最大的缺陷。直到19世纪，分析的严格化开始展露曙光，无穷小量的迷思终于在困扰世人一个半世纪之后得到澄清。
事实上，早在公元前500年，古希腊就已经萌发了微积分的核心思想——极限逼近。著名的哲学家芝诺（Zeno）曾经提出四个芝诺悖论，它们可以看做是极限思想最早的萌芽。在第一个悖论中，芝诺认为“运动不可能”。比如一个物体要从A点运动到B点，则首先需要运动到A和B的中间点C；而如果物体要运动到C点，则需要首先运动到A和C点之间的中点D。以此类推，这个二分法可以无限进行下去。这样的中点有无穷多个，所以物体永远也到达不了B点。因此，物体根本不可能运动，因为它被道路的无限细分所阻隔。
基于同样的道理，芝诺遂提出更多的悖论，诸如“落后的兔子永远追不上乌龟”、“飞矢不动悖论”、“运动场悖论”等等。现实生活中，人们显然可以把物体从A点移动到B点，落后的兔子也会很快追上乌龟。所有这些，都指向了芝诺悖论的谬误。然而，芝诺悖论里所体现出对空间、时间、无限、连续和运动的看法，给古希腊造成了深深的困惑。这样的困惑，一直延伸到了微积分的诞生。
不仅如此，古希腊科学家阿基米德（Archimedes）使用“穷竭法”来计算圆的周长和面积，其核心方法已经非常接近17世纪微积分的思想。除了古希腊，古代中国的科学家也在探索微积分的道路上取得了惊人的进展。魏晋时期最伟大的数学家刘徽发明了割圆术来计算圆周的精确数值。随后，割圆术被南北朝时期的数学家祖冲之发挥到了极致。他计算出圆周率介于3.1415926至3.1415927之间这一惊人的成就。这一成果甚至领先外国1000多年。
阿基米德与欧几里得（图片来源：维基百科）
古希腊的数学在历史上留下了无数绚丽的瑰宝，但随着希腊文明的衰落，也一起进入了长达千年的沉寂期。欧洲数学从此停滞不前，只有欧几里得（Elucid）的《几何原本》和阿基米德（Archimedes）的思想随着数学中心的转移来到了阿拉伯世界。从公元9世纪到16世纪，阿拉伯的数学进入了鼎盛时期。阿拉伯的数学家不仅继承了源自希腊的几何思想，还独自创立了代数学科。直到欧洲文艺复兴过后，东西方的交流通道再度打开。曾经失传的古希腊先贤们的思想结合阿拉伯数学家600多年的数学结晶再次回到了它的故乡-欧洲。
开普勒与伽利略（图片来源：维基百科）
14世纪后，欧洲各国皇室出于航海历的需要，开始出钱资助科学家研究天地星辰的规律。德国天文学家开普勒（Kepler）通过几十年的观星数据，最终发现太阳系的行星沿椭圆轨道运行；意大利科学家伽利略（Galileo）也发现投掷物体会沿着抛物线运动。对天文和力学的研究成果，进一步激发了人们对曲线研究的热情，代数学在这一阶段得到了极大发展。通过代数方法寻求几何问题的解决方案，成为研究曲线运动新的途径。这一切，都为解析几何的发现奠定了基础。
17世纪中叶，法国数学家笛卡尔（Descartes）创立了解析几何。解析几何的横空出世迈出了从常量数学到变量数学的第一步，把自古希腊时代就被割裂的代数与几何、数与形都重新粘合在一起。有了极限思想的启发，结合解析几何的变量思维，微积分作为一门初生的全新学科，呼之欲出。它的诞生需要有人站在更高的角度，聚合无数前人的成就。而让这一理论成真、并焕发无穷生命力的人，就是17世纪的科学巨匠——牛顿（Issac Newton）。
微积分的出现很快在生产和实践上发挥了巨大的作用。通过微积分的预测，人们在草纸上的演算意外地发现了海王星的踪迹，海王星的存在也在后来通过天文望远镜的实测观察予以证实。这件旷古烁今的科学成就让微积分成为无可非议的杰作，更是赋予牛顿前人无可比拟的荣誉和地位。和牛顿同时代的德国数学家莱布尼茨也独立发明了微积分。莱布尼茨还为微积分引入了现代的符号系统，并一直延续至今。后世为了纪念两位科学天才的杰出贡献，遂将微积分的基本公式命名为牛顿-莱布尼茨公式。
不过，在微积分创立之初，牛顿和莱布尼茨的工作还远远不够完善。牛顿为了计算微积分所引入的流数法因为模糊不清的表述而遭遇了最广泛的批评。1734年，英国哲学家、大主教贝克莱（Berkeley）直接提出尖锐的问题，将矛头指向微积分的基础--无穷小的问题。
他指出，牛顿为了求出多项式x的n次方的导数，首先假定无穷小量dx的存在，应用二项式(x+dx)的n次方，然后减去x的n次方，得到的增量再除以dx，最后又让dx消失为0。这个假设的关键在于最初无穷小量dx不为零，最后却又让它等于零。这种随心所欲的操作，让dx召之即来、挥之即去，成为幽灵般的存在。这个dx遂被称为“逝去量的灵魂”，成为牛顿一生的梦魇。牛顿无法回答这个问题，只好避而不谈。无穷小量的迷踪不定，从而引起了数学界长达一个半世纪的争论，并最终导致了数学史上的第二次危机。
微积分在最初的发展阶段，更多的强调形式的计算结果而忽视了其原理的可靠性。由于无穷小量的概念没有得到澄清，与此相关的导数、微分、积分，并由此衍生的发散级数的求和等等都成了棘手的问题。
18世纪中叶，法国数学家达朗贝尔（D’Alembert）提出把极限理论作为分析严格化的基础。他独辟蹊径地把微分看做是函数的极限，特别指出了一个量是另一个量的极限定义。但他没有逃脱传统的几何方法的影响，没能把极限用严格的形式表述出来。
几乎同时代，另一位法国数学家拉格朗日（Lagrange）则试图摆脱无穷小量和极限的概念，将任何函数展开为无穷的级数之和来定义各阶导数。这类泰勒（Taylor）级数虽然取得了一定的成效，但是同时也有很强的局限性。不仅在应用上无比繁琐，而且因为能表达为泰勒级数的函数自身需要很强的约束条件，这极大地限制了可微分函数的范围。拉格朗日的努力也在一定程度上宣告失败。
直到19世纪20年代，数学家们才开始普遍关注微积分的严格化问题。一系列闪亮的名字即将登场，他们开启了一场持续近半个世纪的接力赛，终于在19世纪末期为数学分析奠定了严格的基础，也将微积分置于前所未有的坚固基石之上，从而顺利结束了第二次数学危机。
挪威数学家阿贝尔（Abel）最早开始积极倡导和推动分析的严格化。作为对阿贝尔呼吁的回应，捷克的数学家波尔查诺（Bolzano）在1816年清楚地提出了级数收敛的概念，并给出了导数等概念的合适定义。事情的伟大转折则要归功于法国的数学家柯西（Cauchy）。
柯西于1821-1823年在其著作《分析教程》和《无穷小计算讲义》里给出了数学分析一系列基础概念的清晰定义。例如，他给出了精确的极限定义，并由此建立了现代意义下的连续性、导数、微分、积分、无穷级数等等的概念。特别的，无穷小量，并不是逝去量的灵魂，也不是一个常量，而是一个以零为极限的变量。自此，柯西一举回答了自牛顿时代就困扰世人的无穷小量的行踪问题。
及至魏尔斯特拉斯（Weierstrass）创立了极限理论、戴德金（Dedekind）建立了实数理论以及后来康托（Cantor）集合论的竣工，无穷小量终于现出真身，再也无法隐藏在数学王国的角落里。它是牛顿放出来的幽灵，历经一百五十多年才被后人收服。追逐它谜一样的踪迹则直接促进了现代数学许多分支的诞生，也终于让第二次数学危机落下了帷幕。
危机过后，一切归于平静,数学重又回到了安宁和谐的轨道。遗憾的是，美好的日子并没有持续多久，第二次数学危机的结束很快就引爆了第三次数学危机。这一次的危机比以往的任何风暴都要猛烈，它无疑是数学史上最为深刻的思想交锋，其核心的争论一直延续至今。从某种程度上来说，第三次数学危机塑造了现代文明。众多石破天惊的思想横空出世，它们不仅结出了现代数学的丰硕成果，更深刻地改变了人类的历史。人类文明从此进入了梦寐以求的快车道，向着更加璀璨的未来一路飞驰。
（三）无穷世界的封印：康托的悲鸣
人们很早以前就明白：如果把一堆具有某种特定性质的元素放在一起，就能组成一个集合。研究集合的理论在数学上被称为集合论。它是众多数学理论的分支之一。然而，它在数学中却具有最为特殊的地位，它的基本概念已经渗透到几乎所有的数学领域之中。
经过两千多年的发展，数学已经构建出一座无比富丽堂皇的宏伟大厦。集合论，却始终是这座大厦最底层的根基。如果集合论出现了裂痕，整个数学大厦都可能摇摇欲坠。令人唏嘘的是，第三次数学危机就发生在数学的基石之上。一个关于集合的悖论很快以摧枯拉朽之势席卷了数学界，不仅让集合论风雨飘摇，更是差点将现代数学毁于一旦。
两千多年以来，数学家研究的实体都是基于有限的集合，没有人试图踏入无穷的世界。“无穷”的概念显然超越了所有人的认知，它让一切敢于接近的人都胆战心惊。
17世纪的数学终于迎来了新生。牛顿和莱布尼茨独自发明了微积分，却引发了数学的第二次危机。微积分计算的严格性常常被人诟病，迫切地需要数学理论的澄清。到了19世纪，由于分析的严格化和函数论的发展，数学家们对无理数理论、不连续函数理论的研究更是需要理解无穷集合的性质。了解“无穷”并深入“无穷”成了迫在眉睫的需求。
时代呼唤着天才。此时，德国数学家康托则独自扛起了挑战无穷的大旗。他以一己之力创造了集合论和超穷数理论，打开了被上帝尘封的智慧大门。数千年以来，无数科学家只能在大门外远远地徘徊，对大门充满了敬畏之心。唯有康托径自一人，孤独地行走在惊心动魄的探险之路上，试图找到开启大门的钥匙。他以卓绝的智慧成就完成了这一宏图伟业，让人们得以一窥连接着无穷世界的大门内无比辉煌的宝藏。
为了把握和认知无穷的集合，康托创造性地将一一对应和对角线方法运用到集合论的奠基性研究当中。康托极其深刻地意识到：如果两个无穷集合的元素能建立一一对应，那么这两个无穷集合的个数就应该被视为同样多。在这种思想下，康托很快就发现偶数的个数和自然数的个数一样多，甚至和整数的个数也一样多。换句话说，偶数的个数所组成的无穷和整数的个数所组成的无穷是一样大！
更为神奇的是，康托发现，实数的全体集合组成的无穷比整数的全体集合组成的无穷要大得多。历史上第一次，康托为两个无穷大建立了大小关系。正是因为康托的努力，数学中无限的面纱终于被揭开，围绕着无穷的迷雾终于得以散去。他对无穷的新见解让人们对无穷的认识上升到了一个前所未有的层次。
△奥尔格·康托（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）德国数学家，集合论的创始人（图片来源：维基百科）
第二次数学危机因为康托的工作而终于尘埃落定。自康托起，集合论成为数学里最基础和重要的理论分支之一。
意想不到的是，表面上看起来，康托的集合论为数学建立了牢不可破的公理体系大厦。当这座大厦快要完工的时候，事情再次出现了转折。第三次数学危机不期而至。
英国数学家罗素彻底粉碎了数学家的梦想。1902年，他在康托的一般集合理论的边缘发现了一个关于集合论的悖论。罗素悖论有多个通俗版本，其中最著名的是罗素在1919年提出的理发师悖论：“村子里有一个理发师，他给自己定了一条规矩：‘他给所有那些不给自己理发的人理发，并且只给这样的人理发’。那么，这个理发师该不该给自己理发？”不管如何回答这个问题，都会导致自相矛盾。这个问题本身似乎就具有不可调和的矛盾。
正是因为这种奇怪的逻辑，罗素颠覆了整个数学大厦的基础。一时间，绝对严密、天衣无缝的数学出现了似乎无法修补的漏洞。一如当年非欧几何的惊人发现一样，延续两千多年的欧几里得公理都可能在一夜之间被颠覆，人们再次陷入了极大的恐慌之中。
伯特兰·阿瑟·威廉·罗素（Bertrand Arthur William Russell，1872年—1970年）
此后，数学家们就开始积极寻找解决这场危机的办法。数学是最为严格的科学，然而集合论中居然存在着这样明显而根本的矛盾。人们开始通过细心地选择数学公理来避免产生罗素悖论的思维怪物，从而重新构建精确唯美的数学体系。
德国数学家策梅洛（Zermelo）率先提出七条公理，建立了一种没有悖论的集合论。另一位德国数学家弗伦克尔（Fraenkel）在策梅洛的基础上进行改进，最终形成了一个无矛盾的集合论公理系统（即所谓ZF公理系统）。通过这七条公理建立起来的集合论终于成功地避开了罗素悖论，从而极大地缓解了第三次数学危机。
1917年，希尔伯特提出来一整套数学纲领。他希望找到一套公理体系能够排除悖论，并且能够证明，在任一个无矛盾的形式系统中所能表达的所有陈述都要么能够证明要么能够证伪。在这个系统里不会再出现类似罗素悖论这样的思维怪圈。
然而希尔伯特的宏伟计划很快被颠覆。1931年，奥地利裔数学家哥德尔指出：在任何一个相容的形式化数学理论中,只要它可以在其中定义自然数的概念,就可以在其中找出一个命题，在该系统中既不能证明它为真，也不能证明它为假。
通俗地说，就是任何一个数学的公理化体系都不是“完美的”。任何数学公理化系统都需要人为地从外界注入新的公理进去才能让它日趋完善，而它自己并不能完全自动避免矛盾产生。哥德尔证明不完备定理的主要思想以及罗素悖论的方法和康托的对角线法则是一脉相承的。
库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）（1906年4月28日—1978年1月14日）
尽管集合论中存在矛盾，但这些矛盾大部分均可回避。然而哥德尔不完备定理则表明：数学的真理性不是绝对可证的，如果我们要证明数学理论的相容性或完备性，必须要依靠该数学理论以外的论据，也就是说我们需要更大的系统来说明理论本身是真的。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，数学的确定性却在一步一步地丧失。第三次数学危机则伴随着这种不确定性，以更深刻的形式延续至今。
无穷的世界，一直被视为上帝尘封的大门。康托则打开了潘多拉的盒子，他也为此付出了极其惨重的代价。他的成果遭到同时代数学大师无情地嘲讽。以康托的导师克罗内克为首的数学家组成反康托的联盟，对他进行科学和精神上的双重羞辱。备受打击的康托终于精神崩溃，一度患精神分裂症，最终于1918在德国一家精神病院郁郁而终。
让康托意想不到的是，他所创立的无穷集合论成了第三次数学危机的导火索，也从根本上改造了数学的结构，促进了数学许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础，还给逻辑学和哲学也带来了深远的影响。他在研究无穷集合时所发明的对角线方法，则为后世科学家提供了极为本质的灵感源泉。20世纪无数重大的理论成果都受益于此，数学和哲学也因此而焕然一新，比如图灵停机问题、哥德尔不完备定理都是该方法的不同延伸。在这些思想成果的汇聚下，最终造就了今日的信息文明，特别是计算机的发明。
结语时至今日，我们已经知道，数学的王国里有无穷无尽的宝藏和果实可供后世的勇士去挖掘和摘取。完美的数学并不存在，人们不必为它的瑕疵而伤心，反而应该为它无限的可能性而欢欣。历史的车轮总能一直向前，数学的未来也一片光明。同时，世界上还有很多永远不能被数学解决的问题，这样的问题甚至比能被数学解决的问题要多得多。世界，在最理性的层面，展示出它迷人而无穷的魅力。人们终将认识到自身的渺小，认识到真理星空的浩瀚，从而永远保持谦卑和谨慎。
（图片来源：NASA）
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