涨姿势 | 数学之王欧拉的完美之作——欧拉公式！催生了...

涨姿势 | 数学之王欧拉的完美之作——欧拉公式！催生了数学与物理学大革命 2019-04-15 18:08物理/物理学/高考

聊到世界上最完美的公式，就肯定离不开欧拉公式，如果说麦克斯韦方程首次让物理学界迎来了大一统，那么欧拉公式就可以被称为“公式之母”，无数数学界以及物理界的公式都是受他影响而诞生，可以说推动了数学界和物理界的大发展，数学家们更是评价它是“上帝创造的公式”。而这个公式的发明者欧拉也被誉为“数学之王”，是数学界的四大天王（“数学之神”阿基米德、牛顿、“数学王子”高斯、欧拉）。

我们先来聊聊欧拉，欧拉可以说就是为数学而生，人家9岁，就把牛顿的《自然哲学的数学原理》看完了。

13岁考入巴塞尔大学一开始是主修哲学和法律。后来觉得太容易了，太轻松了。一口气又修了数学、神学、希伯来语以及希腊语。

课余还研究音乐、物理、建筑啥的。这他都觉得大学过的很闲。花了两年时间就把六个专业学完了，然后毕业了......

顺手考了一个硕士，可能是觉得硕士学习的内容太简单了，欧拉完全提不起兴趣。心想要不然就考个博士吧。

然后硕士读了一年了就成功考取了博士。

这些欧拉才心满意足，觉得还是有点学习的价值，乖乖读了3年。19岁就成功博士毕业了。博士毕业论文就是写的物理论文。

为啥说欧拉自负傲娇气性大，因为他20岁的时候参加巴黎科学院奖金的争夺，就拿了一个第二。

欧拉啥时候受过这样的气啊，心想虽然自己比赛的时候也是洒洒水，没这么认真。也不至于就第二吧。

当年拿第一的皮埃尔·布格也是厉害人物，在多个领域有很高成就，被后世尊为“ 造船工程学之父 ”。

可惜他碰上的对手是欧拉。

欧拉很生气，后果很愤怒。接下来12年，建筑大赛的冠军都被欧拉拿了。

到了33岁，欧拉才觉得气消，不再参与比赛。27岁那年，他发明了一系列对人类影响深远的符号——圆周率的符号π、函数符号f(x)、以及三角学符号sin、cos、tg等等都是他发明的。

欧拉凭一己之力，成功为中国数学教材贡献了无数的知识点。让中国学生在中考、高考的数学火海里苦苦挣扎，然而，这只是人家做的一点点微博贡献。

从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式都是他送给理科系大学生的礼物。

还有哥德巴赫猜想也是哥德巴赫写信给欧拉时提出的。现在流行的版本是欧拉记载下来的。

哥德巴赫写给欧拉的信

欧拉在数学的勤奋还有天赋真的是前无古人。号称科研就和生活一样。可能在喝一杯水的时候，就立马想处一个公式来了。

另外，他还顺便创造了几个全新的学科：拓扑学、弹道学、分析力学，还自学成为了制图学家。全欧洲的天文学家正在讨论该如何计算彗星的轨道，100多个专家苦苦尝试却毫无进展。

27岁的欧拉听说了这件事之后，得瑟之心油然而生，为了显摆自己的智商，他连续三天不吃不喝不睡，搞出了一套计算彗星轨道的方法。

然而天道好轮回，天才也缴税，由于连续三天没合眼，他的右眼劳累过度，瞎掉了...

不过他表示还可以再坚持一下，30岁的独眼欧拉出版了震古烁今的巨著《力学，或解析地叙述运动的理论》，提出了质点的概念。

还在速度与加速度问题上引入了矢量，一系列巨大成果，改变了人类发展的走向。

32岁时候，很久没有跨界的他，心里痒痒的，于是出版了一部音乐理论著作，顺便发明了，空气动力学和流体动力学。。

在59岁的时候，欧拉彻底瞎了，但是欧拉觉得好像解放了新世界。虽然看不清楚，没有办法计算，但是欧拉强悍的心算能力弥补了这一点。

欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容。

而且老年时期还能清楚记得维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》，这本书有多厚呢，人民出版社翻译的中文版共有300多页。

欧拉可以清晰记得哪一句在哪一页哪一段哪一行。

有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位。

欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来．欧拉在失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题．欧拉以惊人的记忆力还有能力解决了需要计算的难题，写东西更勤快了。还创立了分析力学和刚体力学

他喜欢拿自己的小孩做背板，然后在那里计算。就和这幅图一样。

1771年，64岁的欧拉因为彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中。

虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了。

记忆力惊人的欧拉表示，烧掉了有什么，我再重新写出来不就好了。

他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录。

然而即使欧拉奋战了13年，依然才整理出来一小部分被烧毁的成果，可以说如果不是这场大火，那么欧拉遗留下来的成果你想想对文明的进步会有多大的发展。

他大火之后整理出来的小部分成果共包括886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。

以欧拉命名的公式与定理，足足有数十个。这其中最为知名的就是我们的主体“欧拉公式”，这条恒等式第一次出现于1748年欧拉在洛桑出版的书Introduction，它是复分析的欧拉公式特例。。

欧拉公式并没有多复杂，反而方程简单，有点像武林高手，达到了最高境界，返璞归真一样的感觉。

看起来是不是特别地简单，但是这个公式在以前即使是许多的数学界穷尽一生都很难琢磨明白，它将数学里最重要的几个常数联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。

那么为什么说这个公式非常复杂呢？因为你可以用非常多不同的方式去证明它，你既可以用数学归纳法证明，也可以用推理证明，也可以分式推导，还可以用复变函数求证，甚至你可以用 平面几何学、 物理学、拓扑学来推证。所以才说他蕴含了所有的数学元素，甚至蕴含了宇宙的至理法则。

自然数也被称为欧拉数的“e”含于其中。 自然对数的底、素数定理、完全率、阻力落体、粒子运动，大到飞船的速度，小至蜗牛的螺线，都蕴含着“e"

而另外一个超越数，π，大家相比很清楚了，就是圆周率。这两个超越数都是欧拉发明的。

也包含了最重要的运算符号 + ，最重要的关系符号 = 。而0和1，是构造群，环，域的基本元素，也是构造代数的基础。 而虚单位 i 使数轴上的问题扩展到了平面，在哈密尔的 4 元数与 凯莱的 8 元数中也离开不了它。

所以你明白为什么这个公式非常之复杂了吗？也正是因为其涵盖范围如此广泛，如三角函数、傅里叶级数、泰勒级数、概率论、群论等受到了它的影响。它同样对物理学影响也非常巨大，如机械波论、电磁学、波动光学以及引发了电子学革命的量子力学的理论基础也蕴含其中。也将物理学中的圆周运动、简谐振动、机械波、电磁波、概率波等联系在了一起......

举一个例子，你可以使用欧拉公式将三角函数转换为指数(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。可以说欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。

还可以把它扩展为时间的函数。（引用自CSDN xieyan0811 ）

加入了t，把e^(ix)想成e^(iwt)，t是时间，w是系数。把平面上的转圈扩展成了空间中的转圈，纵轴表示时间t，两个横轴分别为实部(cos(t))和虚部(sin(t))，蓝线经过的点是e^ix，即，把时域上的e^ix分别投射到了实轴cos(t)和虚轴sin(t)，它们都是时间t的函数．图中可看到正余和余弦的投射（红／绿）。如果用python做3D图，拖动旋转角度效果更直观．这就是傅立叶变换原理：将时域值拆分映射到频域，通过三角函数的叠加表示。

还有拓扑学里的欧拉公式

v+f-e=x(p)，v是多面体p的顶点个数，f是多面体p的面数，e是多面体p的棱的条数,x(p)是多面体p的欧拉示性数。 如果p可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么x(p)=2，如果p同胚于一个接有h个环柄的球面，那么x(p)=2-2h。 x(p)叫做p的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

所以看完之后，你就能知道为什么欧拉公式被誉为“上帝创造的公式”了吧，很多数学家甚至物理学家都从欧拉公式里得到了启发，高斯曾经说：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家。”

物理学家查德·费曼惊呼：欧拉恒等式不但是“数学最奇妙的公式”，也是现代物理学的定量之跟。

只是不知道为数学而痛苦的各位，是不是看到这个公式十分气愤，毕竟很多我们中高考大学的公式都是受它影响～

图文 | chris 编辑 | chris

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