数学物理问题：雨中走路和奔跑哪种方式淋雨更多？

数学物理问题：雨中走路和奔跑哪种方式淋雨更多？ 原创 火星一号 2019-04-09 15:47:13


这个问题不但是一道物理竞赛问题，还是一道经典的数学建模问题，可以通过建立数学模型来对此进行求解。
为了方便建模，把人简化成一个长方体。并假设人的奔跑速度为匀速的v，人的淋雨量为w，人在雨中的行进距离为d，行进时间为t（d/v）。雨水迎面的下落速度为匀速的u，雨水的平均密度为ρ，雨水与地面的夹角为θ。


由此可以计算出，雨水相对于头顶的垂直速度分量为vy=usinθ，雨水相对于身体前方的水平速度分量为vx=ucosθ+v。头顶的淋雨面积s1=ab，身体的淋雨面积s2=bh。因此，人的总淋雨量就是头顶淋雨量和身体前方淋雨量之和。
头顶的淋雨量为：


身体前方的淋雨量为：


总的淋雨量为：


显然，∂w/∂v<0，这意味着随着速度v的增加，淋雨量w在逐渐减小。并且如果人的身体与雨水平行，理论上只有头部会受到淋雨。因此，在最为理想的情况下，对于没有带伞的人来说，在雨中奔跑的速度越快，并且身体的倾斜方向刚好跟雨水平行，那么，这个人所淋到的雨水是最少的。
为了便于计算，模型做了很多简化，最终得出的结论也是符合实际的。关于在雨中是应该行走还是快速奔跑，可以考虑两种极端的情况。一种是在雨中以接近于零的速度运动，还有一种是在雨中以接近光速的速度运动。显然，运动相同的距离，在雨中运动的时间越短，所淋到的雨水也会越少。

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