数学和古典诗词的意境

数学和古典诗词的意境  女博士讲诗词 2019-04-30 00:46:26

数字嵌入诗词，早已有之。郑板桥有咏雪诗：一片二片三四片，五片六片七八片；

千片万片无数片，飞入梅花总不见。

诗句抒发了诗人对漫天雪舞的感受。不过，诗中尽管嵌入了数字，却实在和数学没有什么关系。数学和古典人文的联接，比如：

故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。

孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。

如果问其中哪一句可以和极限概念相通？大家的回答可能是“孤帆远影碧空尽”。这说明，数学和诗词是可以沟通的。

数学和人文意境存在着互相沟通的隧道。无限，乃是数学家和人文学者都要面对的问题。彼此解决的途径可以不同， 但是思考时的意境必然会有相似之处。

有关无限的诗句，比如陈子昂的《登幽州台歌》：

前不见古人，后不见来者；

念天地之悠悠，独怆然而涕下。

现如今一般的语文书里都会解释说：前两句俯仰古今，写出时间绵长；第三句登楼眺望，写出空间辽阔。在广阔无垠的背景中，第四句描绘了诗人孤单寂寞悲哀苦闷的情绪，两相映照，分外动人。然而，从数学上看来，这是一首阐发时间和空间感知的佳句。前两句表示时间可以看成是一条直线（一维空间)。作者以自己为原点，前不见古人指时间可以延伸到负无穷大，后不见来者则意味着未来的时间是正无穷大。后两句则描写三维的现实空间：天是平面，地是平面，悠悠地张成三维的立体几何环境。全诗将时间和空间放在一起思考，感到自然之伟大，产生了敬畏之心，以至怆然涕下。这样的意境，数学家和文学家可以共有。尤其是，把时间和空间放在一起思考，可以说也在意境上与爱因斯坦的四维时空学说相衔接。将这一想法和语文学者交谈，他们也觉得很有意思。但是，在应试教育盛行的标准化考试面前，这无论如何不能算标准答案，无法进入语文研究的视野。

无限有两种：其一为没完没了的“潜无限”，其二是“将无限一览无余”的“实无限”。比如杜甫的名诗《登高》中的两句：无边落木萧萧下， 不尽长江滚滚来。前句指的是“实无限”，即实实在在全部完成了的无限过程、已经被我们掌握了的无限。“无边落木”就是指“所有的落木”，这个实无限集合，已被我们一览无余。后句则是所谓潜无限，它没完没了，不断地“滚滚”而来。尽管到现在为止，还是有限的，却永远不会停止。数学的无限显示出“冰冷的美丽”，杜甫诗句中的“无限”则体现出悲壮的人文情怀，但是在意境上，彼此是沟通的。

将数学思想方法和古诗意境连接起来。例如：

松下问童子，言师采药去。

只在此山中，云深不知处。

这首诗在人文意境上和数学存在性定理彼此相通。文学家欣赏“云深不知处”的苍茫意境，而数学家则会关注难以名状的一种不确定性。隐者在哪里? “云深不知处”。但是他确实就在此山中。与数学的意境何等契合！

数学上常用反证法。你要驳倒一个论点，你只要将此论点“假定”为正确，然后据此推出明显错误的结论，就可以推翻原论点。苏轼的一首《琴诗》就是这样做的：

若言琴上有琴声，放在匣中何不鸣?

若言声在指头上，何不于君指上听?

意思是，如果“琴上有琴声”是正确的，那么放在匣中应该“鸣”。现在既然不鸣，那么原来的假设“琴上有琴声”就是错的。由此可见，人文的论辩和数学的证明，都需要遵循逻辑规则。

将数学问题求解的过程，用古诗意境加以比喻。这里也有一些例子。

首先是关于黎曼积分和勒贝格积分。苏轼《题西林壁》诗云：

横看成岭侧成峰，远近高低各不同。

不识庐山真面目，只缘身在此山中。

将前两句比喻黎曼积分和勒贝格积分的关系，相当有趣。苏轼诗意是：同是一座庐山，横看和侧看各不相同。勒贝格则说，比如数一堆叠好了的硬币，你可以一叠叠地竖着数，也可以一层层横着数，同是这些硬币，计算的思想方法却差异很大。横看和侧看，数学意境和人文意境竟可以相隔时空得到共鸣，发人深思。

最后一个实例是局部和整体。仔细琢磨一下微积分的核心思想之一，在于考察一点的局部。研究曲线上一点的切线，只考虑该点本身不行，必须考察该点周围的一些点，这就是局部的思想。一点的局部，只是考察该点的“附近”，却没有远近的确切要求。这种小大由之的概念，颇有一些哲学意味，它需要从意境上加以把握。为什么考察一个人，要问他/她的身世、家庭、社会关系？也是因为人是以局部而存在的。孤立地考察一个人是不行的。微积分学就是突破了初等数学“就事论事”、孤立地考察一点、不及周围的静态思考，转而用动态地考察“局部”的思考方法，终于创造了科学的黄金时代。可是，现在的微积分教材，对此只字不提，颇觉遗憾。

考察局部，何止于微积分？读到杜甫的诗句：

天街小雨润如酥，

草色遥看近却无。

诗的第二句当是阐述拓扑学上局部和整体的一种文学意境描写。就曲面来说，远看可以有整体的区分，例如球面和环面。但是，近看却都差不多，都是一个“圆片”：二维的欧氏平面的局部。这正如整体的草色只能“遥看”，一旦近了，到局部状态，那种“草色”就“近看无”了。

数学和人文意境的沟通，还会有许多其他的例子。比如《道德经》说：“道生一、一生二、二生三、三生万物”，就和皮亚诺的自然数公理庶几相近。

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