△奥尔格·康托(Cantor,Georg Ferdinand Ludwig Philipp,1845.3.3-1918.1.6)德国数学家,集合论的创始人。
第二次数学危机因为康托的工作而终于尘埃落定。自康托起,集合论成为数学里最基础和重要的理论分支之一。
意想不到的是,表面上看起来,康托的集合论为数学建立了牢不可破的公理体系大厦。当这座大厦快要完工的时候,事情再次出现了转折。第三次数学危机不期而至。
英国数学家罗素彻底粉碎了数学家的梦想。1902年,他在康托的一般集合理论的边缘发现了一个关于集合论的悖论。罗素悖论有多个通俗版本,其中最著名的是罗素在1919年提出的理发师悖论:"村子里有一个理发师,他给自己定了一条规矩:'他给所有那些不给自己理发的人理发,并且只给这样的人理发'。那么,这个理发师该不该给自己理发?"。不管如何回答这个问题,都会导致自相矛盾。这个问题本身似乎就具有不可调和的矛盾。正是因为这种奇怪的逻辑,罗素颠覆了整个数学大厦的基础。一时间,绝对严密、天衣无缝的数学出现了似乎无法修补的漏洞。一如当年非欧几何的惊人发现一样,延续两千多年的欧几里得公理都可能在一夜之间被颠覆,人们再次陷入了极大的恐慌之中。
△伯特兰·阿瑟·威廉·罗素(Bertrand Arthur William Russell,1872年—1970年)
此后,数学家们就开始积极寻找解决这场危机的办法。数学是最为严格的科学,然而集合论中居然存在着这样明显而根本的矛盾。人们开始通过细心地选择数学公理来避免产生罗素悖论的思维怪物,从而重新构建精确唯美的数学体系。德国数学家策梅洛(Zermelo)率先提出七条公理,建立了一种没有悖论的集合论。另一位德国数学家弗伦克尔(Fraenkel)在策梅洛的基础上进行改进,最终形成了一个无矛盾的集合论公理系统(即所谓ZF公理系统)。通过这七条公理建立起来的集合论终于成功地避开了罗素悖论,从而极大地缓解了第三次数学危机。
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△策梅洛(Zermelo, Ernst Friedrich Ferdinand,1871~1953)德国数学家。
1917年,希尔伯特提出来一整套数学纲领。他希望找到一套公理体系能够排除悖论,并且能够证明,在任一个无矛盾的形式系统中所能表达的所有陈述都要么能够证明要么能够证伪。在这个系统里不会再出现类似罗素悖论这样的思维怪圈。