古希腊几何的最高水平：阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》

古希腊几何的最高水平：阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》  电子通信和数学领域 2019-06-01 16:54:38
今天我们所学到的圆锥曲线各种各样的性质不得不提及他的创立者，就是古希腊几何最高水平的代表人物阿波罗尼奥斯，阿波罗尼奥斯，是古希腊数学家，与欧几里得，阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古希腊几何的最高水平，它将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足的余地。


阿波罗尼奥斯（Apollonius of perga 约公元前262~190年 ）是小亚细亚珀尔加地方人，有关他生平的信息主要来自唯一的传世之作《圆锥曲线论》各卷中作为前言的信件。他年轻时曾在亚历山大跟随欧几里得后继者学习。阿波罗尼奥斯的贡献涉及几何学诸多领域及天文学。他最重要的数学成就，是在前人工作的基础上创立了完美的圆锥曲线理论。《圆锥曲线论》就是这方面的系统总结，这部巨著对圆锥曲线的研究高度直至17世纪笛卡尔，帕斯卡出场前，始终无人能够超越。《圆锥曲线论》八卷，前四卷是基础部分，后四卷是拓广的内容，其中八卷已失传，共含487个命题。

以下摘录第一卷中关于圆锥曲线的定义与主要性质。

卷1

1.从一点向与这点不在同一平面的圆周连直线，并且将这条线向两端延长，如果这点保持固定，令直线绕圆周旋转，最后回到出发位置，就描绘出了两个对顶的面组成的曲面，当生成曲面的直线无限伸展时，曲面的两支也无限延伸，我称这曲面为圆锥曲面。

4.对于一平面上的任意曲线，从曲线上画出一条直线，使之平分所有与这曲线相连且平行于某一直线的直线，我称这条直线为直径。

6.两条作为直径的直线中，如果每一条都平分与另一条相平行的直线，我称它们为一条曲线或两条曲线的共轭直径。

8.我称彼此平行的那些直线相交成直角的共轭直径为一曲线或两曲线的共轭轴。

关于切线和直径的一些结果：

卷I：命题46

设有一抛物线，其直径是直线ABD，而直线AC与这截线相切，过切点C作直线HCM平行于直径AD，在这截线上任取一点L，设LNFE平行于AC.

我断言 LN=NF

卷I：命题46

设有双曲线，其直径为直线AB，中心为C，又设直线LK与截线A相切，连接直线LG并延长，在截线B上任取一点N，过N作直线NG平行于直线LK.

我断言：NO=OG

卷I：命题15

设有一椭圆，其直径是线段AB，平分AB于点C，过C在纵坐标方向上做DCE并在两个方向上延长到椭圆，又从点D作线段DF垂直于DE，并使其满足DE:AB=ABF,又在椭圆上取某一点G，过G作直线GH平行于AB（交DE于H），过H作直线HL平行于DF,再过F及L作直线FK和LM平行于HD。

我断言线段GH上正方形等于宽为DH，长为DM的矩形

怎么做出直径，中心和切线

卷II：命题45

已知椭圆和抛物线，找出其中心

卷II：命题50

已知一圆锥曲线，作一切线与其轴在这截线的同一侧交一角等于已知的锐角。

卷III：命题50

设有一圆锥截线AB,AC,和CB是切线，连接AB，作直线CDEF穿过截线

我断言：CF:CD=EF:ED

上述没有附上阿波罗尼奥斯的证明，因所有证明都是纯几何形式，非常复杂繁琐，也因此显示了阿波罗尼奥斯高超的几何才能。

伟大的天才科学家牛顿的划时代巨著《自然哲学之数学原理》也是纯几何命题形式的证明，其中运用的数学知识就是阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》和欧几里得的《几何原本》。

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