（坐标系中）求线段长和三角形面积的通用方法

初中必考：（坐标系中）求线段长和三角形面积的通用方法胡不归数学课堂 2018-11-17 18:18:03

一、学习目标

1、由数轴上两点间的距离转化为坐标系中求线段的长度，进而探索坐标系内任意两点间的距离；

2、运用所掌握的方法解决坐标系内三角形面积的解题策略；

3、体验和感受用“转化”的数学思想，指导我们探究学习数学问题.

二、学习过程

【基础题型】

1、如下图所示，数轴上有A、B两点，分别表示2和-2，C是数轴上一动点.

①求AB的长；②若点C表示的数是x，请用含x的式子表示出AC和BC的长；③若AC=3，求点C.

解析：①AB=2-（-2）=4；②AC=∣x-2∣，BC=∣x-（-2）∣=∣x-2∣；③分两种情况：若点C在点A的右边，则点C表示的数是5；若点C在点A的左边，则点C表示的数是-1.

点评：（i）绝对值的意义就是表示数轴上两点间的距离，任意实数的绝对值永远为非负数；（ii）数轴上两定点间的距离就是“大数减小数”，更确切可以记为“右减左”；（iii）若数轴上两点是一定一动，则它们的距离可以用含绝对值符号的式子表示出来.

2、如下图，在平面直角坐标系中，直线m和n分别平行于坐标轴，且交于点C，其中，m和y轴交于点D，n和x轴交于点E，已知点A（3，2）和B（1，4）分别在直线m和n上，求 ：

①点C的坐标；②AC和BC；③若点F（x，0）是x轴上一点，且位于直线n的右侧，表示出△CEF的面积.若点F位于直线n的左侧呢？

解析：①C（1，2）；②AC=3-1=2，BC=4-2=2；③如下图，当点F位于直线n的右侧时，x ＞1 ，S△CEF=1/2×EF×CE=1/2×（x-1）×2=x-1；当点F位于直线n的左侧时，x ＜1 ，S△CEF=1/2×EF×CE=1/2×（1-x）×2=1-x.

点评：（i）若两点在x轴上，则求它们之间的距离的方法是“右减左”，若两点在y轴上，则求它们之间的距离的方法是“上减下”；（ii）求坐标系中三角形的面积，就是用上面的方法，把底和高分别表示出来后，代入三角形的面积公式化简计算即可.

【转化题型】

1、如下图，在平面直角坐标系中，线段AB位于第一象限内，若A（4，1），B（1，3），则：①求AB的长；②若点C（-1，1）求三角形ABC的面积.

解析：①因为点A和C的纵坐标都是1，所以AC∥x轴，如下图，过点B作BD⊥x轴于点D，交AC于点E，则BD⊥AC.

在Rt△BEA中，AE=3，BE=2，则由勾股定理可算得AB=√13.

②△BCA中，AC=5，BE=2，故三角形ABC的面积=1/2×AC×BE=5.

2、如下图，在平面直角坐标系中，已知：A（-2，1），B（3，4），C（3，2），求S△ABC.

解析：如下图，过点A作AM⊥BC，垂足是M.S△ABC=1/2×BC×AM=1/2×2×5=5.

点评：三角形的三条边中若有和坐标轴平行的边，就以这条边为底，求出这条边上的高，然后利用三角形面积公式求解即可.

本题还可以用补形法求解，比如可分别过点A和C向x轴作垂线，垂足为M和N，如下图所示，则S△ABC=S梯形AMNB-S梯形AMNC. 本篇主旨是探索坐标系中求三角形面积的通用方法，因此其他解法，不再一一赘述.

3、如下图，在平面直角坐标系中，已知：A（-2，1），B（1，4），C（3，2），求S△ABC.

解析：如下图，过点B作BD∥y轴，交AC于点D.设过AC的直线的解析式为y=kx+b，把A（-2，1）和C（3，2）分别代入解方程组，可求得k=1/5，b=7/5，即过AC的直线的解析式为y=1/5x+7/5. 设点D（1，n）， 代入解析式可得n =8/5. 设 △BDA和△BDC的高分别为h1和h2，则S△ABC=S△BDA+S△BDC=1/2×BD×h1+1/2×BD×h2=1/2×BD×（h1+×h2）=1/2×12/5×5=6.

点评：h1+h2的和就是“C的横坐标减去A的横坐标 ”，可以认为是△ABC水平的宽度，因此，求解坐标系中斜放置的三角形的面积，通常记为“水平宽×竖直高”的一半，其中竖直高就相当于题中BD的长.

三、学习总结

①坐标轴上两点间的距离，或者是坐标系中横平竖直线上两点间的距离，都可以用“右减左（水平线）”和“上减下（竖直线）”来表示；

②坐标系中斜放置的线段的长度，可以转化为直角三角形中用勾股定理求斜边，或者运用两点间的距离公式：设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)是平面直角坐标系中的两个点,则

③坐标系中处理问题的原则是：作横平竖直的线.

④求三角形的面积时分两种情况：

（i）有一条边在坐标轴上：以在坐标轴上的边为底边，过顶点作垂线，如下图1，S△ABC＝1/2·AB·|yC|

（ii）没有边在坐标轴上（即斜放置的三角形），过顶点作平行于坐标轴的直线，如下图2，S△PAC＝1/2·PP′·|xC－xA|，即“水平宽×竖直高的一半”.（这个结论是9年级二次函数综合题中经常用到的公式）

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龚老师，现在天空的帖子越来越好看了