就算你是拉格朗日，你也解不开五次方程的旷世难题

就算你是拉格朗日，你也解不开五次方程的旷世难题原创 徐晓亚然 2019-11-16 17:59:18

1755年，19岁的拉格朗日用一种非常的方式解决了困扰2000多年的等周问题，并且将老师欧拉开创的变分法进行了大幅度扩展。这个神级的贡献让欧洲数学界一下子认识到了这位少年天才，于是，拉格朗日从青年数学家一跃成为欧洲第一流的数学家了。

拉格朗日

1756年，经过欧拉大师的推荐，拉格朗日当选普鲁士科学院通信院士，开启职业数学生涯。这一期间，拉格朗日开始把变分法的理论用在力学分析中，从此力学分析进入到一个崭新的研究阶段。

腓特烈大帝

1765年，达朗贝尔写信给当时普鲁士国王腓特烈大帝，信中他忍不住赞扬这位年轻的数学家，才华横溢，并强烈建议在柏林给拉格朗日一个职位。这位国王也真是自信，写信给拉格朗日说，在“欧洲最伟大的王”的宫廷中应有“欧洲最伟大的数学家”。由于当时欧拉正是在柏林担当物理数学研究所所长，欧拉是拉格朗日的伯乐，他怎么会跟自己敬爱的老师争职位呢？于是回信到，我不愿与欧拉竞争，于是谢绝这份邀请。

达朗贝尔

终于在1766年的3月份，达朗贝尔写信告诉拉格朗日，欧拉已经准备离开柏林前往圣彼得堡，欧拉也非常愿意拉格朗日来接替他的职位。至此，拉格朗日欣然前往柏林。在柏林的20多年间，拉格朗日做出最重要的成就，在柏林，拉格朗日到达了自己的职业巅峰期。

前面的十年时间里，拉格朗日研究了一个让前人困惑不已的问题，就是方程论。

在很久远的年代人们就知道有一种数学概念叫作方程，方程中有已知系数，和未知量。根据实际问题来建立一个可以解答的方程，往往解出那个未知量，实际问题就解决了。关于方程问题，中国古代的很多数学典籍都有记载，也是很好的数学启蒙问题。《孙子算经》中记载了鸡兔同笼问题就是一个利用列方程式很快就可以解答的典型。

《孙子算经》是我们古代重要的数学著作

很多困难的问题，可能要列出复杂的方程，求解也变得不是那么简单了。再后来，方程从实际问题中剥离开来，并逐渐成为一个纯粹的数学研究领域了。

1608年，德国数学家罗特提出一个猜想：

任意复数系的一元n次方程有且仅有n个复根。

高斯第一个证明了代数基本定理

上面的这句话，我们现在叫代数基本定理，这也是方程论的中心定理，没有这个定理的加持，方程研究虚无缥缈。这个定理的证明却很不是一帆风顺，历史上许许多多的人给出相当的证明，但是很少有完整的。第一个给出一般性证明的人是高斯在1799年的博士论文中给出的，高斯当然并非常人，后来，他又在几十年的数学生涯中先后给出了6种不同的证明。

塔尔塔利亚

现在我们来研究解方程，在16世纪，塔尔塔利亚和卡尔丹诺因为三次四次方程的公式解法掀起一场旷日持久的发明权大战。不论结果怎样，在17世纪，人们在任何数学手册上就可以找到三次，四次方程的根式解法了，哪怕当时记录的解法异常复杂。

卡尔达诺

可是人们再继续推进多次方程根式解法时，却遭遇到了难以想象的困难。人们把之前所有的探索方式都在五次方程解法上用了个遍，无一例外都失败了。但是却没有人知道为什么会失败，也没有人敢下结论到底有没有五次方程的根式解法。

拉格朗日曾经花了10年时间来研究这个问题。

首先对于一般的一元三次方程：

X^3+ax^2+bx+c=0

我们先把这个一般的三次方程消去二次项，于是：

需要对x做变换即可消除二次项

最先得到上面没有二次项的三次方程解法的人是意大利数学家费罗，而上面那个解法也是那场持久争斗的开端。现在，我们不关心这些，我们来注重考虑不含二次项的三次方程根式解法是如何进行的。对于方程x^3+mx+n=0,我们需要最为关键的一次变换才能让工作进行下去。

再做一次关键变换就可以得到求根公式

这里的2式是一个关键，因为经过这个变换之后，原方程就将变成y^3的二次方程，解出来，再进行代入，就可以得到三次方程的全部根式解了。事实上，历史上曾经有那么多人探索三次方程的根式解法不成功，就是因为没有找到这个代换。如果找到这个代换之后，那么就可以像二次方程用配方法求出最后的根式解了。继续进行。

这一步已经很接近最终答案了

4式的方法，我们现在叫作预解方程，事实上这也是拉格朗日起的名字。我们要去解5式，这是一个简易三次方程，那么就一定有3个根。于是

最终的解

拉格朗日发现，不考虑x1,x2,x3的先后顺序的话，事实上每个y都可以写成下列的形式。

上述的x1,x2,x3总是可以互换位置，而互不影响，我们叫作变换，这有3!种变换，总计6种，也就是说7式的y可以有6种不同表达形式，那么根据代数基本定理，显然y就是一个六次方程的解！

我们再观察一下y的6个含有ω的解有什么特征。

这是拉格朗日发现的最终目标

从9式我们发现，这里的x1,x2,x3在6种情况变换下只能取2个值。于是我们再一次得到一个结论：满足y的方程一定是一个y^3的二次方程！

拉格朗日用同样的预解式来解决四次方程，发现这一套方法仍然有效。如果我们仍然继续着三次方程的轨迹，就将得到x1,x2,x3,x4在4！中变换中只能取到3个不同的值。事实上，一般的四次方程假如仍然使用之前的代换，我们会得到一个辅助的3次方程，类似于三次方程的辅助方程会是y^3的二次方程一样。

拉格朗日

拉格朗日两次都取得了不错的效果，他认为一般的n次方程在求解过程中，所有容许根的个数就是n！个，三次，四次符合，那么五次也应该符合。并且按照正常套路五次方程的辅助方程会是一个四次方程，只要这样依次递降，总可以用根式的方式来表示这些方程最终的解，哪怕这个方程的根式解极度复杂，难以表示。

然而他在研究了五次方程预解函数之后，发现五次方程的辅助方程居然会变成六次，五次都没解出来，居然还冒出个六次来，一点都不像三次，四次方程那样逐级降次，很显然这条路是走不通的。拉格朗日也始终没有找到合适的五次方程的预解方程，也就是说他失败了。

拉格朗日被迫承认了下面这个事实。

五次方程看起来是没有根式解的。

虽然拉格朗日并没有在五次方程根式解这个问题上更上一层，但是他创造的预解方程的思路确实正确的，从三次，四次推平稳推进到五次，却完全不通，从侧面上他也说明了为什么四次以上方程会没有根式解法，而在四次及四次以下都会有。

拉格朗日这样的大神在五次方程根式解的探索上都如此挫败，足以看出这个问题的难度有多大。不过，拉格朗日的思路却着实影响了许多后来在这个问题上有过突出贡献的数学家们，比如阿贝尔，鲁菲尼，伽罗瓦等等。

拉格朗日预解式的继任者 鲁菲尼

1813年，鲁菲尼用拉格朗日创立的预解函数的方法，证明了不存在一个预解函数使其能满足一个次数低于5的方程。当然后来，人们还是发现了鲁菲尼那篇500页的论文中的漏洞，不过这都是后话了。后来阿贝尔第一次证明了五次方程不存在根式解，但是他仍然不能说明五次以上的方程是否有根式解。直到伽罗瓦的群论出现，人们才将这个问题彻底解决，人们用群论深刻地理解了群置换在方程求解方面的重大意义。

阿贝尔

事实上，从拉格朗日开始，就已经隐约有根置换的概念了，只不过那些都还在萌芽当中，他们被方程的根这个具体的数学问题缠绕得太久了，并没有意识到置换会带来怎么样的成果，但是只有伽罗瓦第一次意识到置换的意义。于是乎，在五次方程是否有根式解这个问题的研究上，在伽罗瓦之前的所有数学家的成就都不及伽罗瓦一人，只有伽罗瓦看到了问题最根本的原因。

伽罗瓦

拉格朗日没有在五次方程这个问题取得圆满成就，但是他的其他领域研究是非常精彩不断的。比如前面说的分析力学，他是分析力学的开创者，同时又是天体力学的奠基人。他找出过三体问题5个特解，天文学上还有拉格朗日点这个术语，星际探测器只要很少的燃料就可以在这个点附近长期逗留，这个点对于人类探测星空有很大意义。在数学上，他除了变分法和方程论，在函数论，微分方程论和数论上都有极大成就。

三体问题的5个特解 拉格朗日点

拉格朗日的事例深深地告诉了我们一个事实，即使你是天外飞仙的大神，也总会遇到一些你就是解不开的难题。比如莱布尼茨解不开巴塞尔猜想被欧拉解决了，欧拉解不开的四平方猜想被拉格朗日解决了，拉格朗日解不开的五次方程问题被伽罗瓦解决了。虽有力不能及，但是这些从来都不会影响他们的伟大。

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